info2shop

Pierre de Fermat

matematický génius a zakladatel geometrické optiky jako vědy
(narozen 20. 8. 1601 v Beaumont de Lomagne - zemřel 12. 1. 1665 v Castres)

Ve všech encyklopediích se obvykle dočteme, že Fermat (čti Ferma) byl velký tvůrčí matematik; a skutečně - jeho výsledky v tomto oboru ho řadí k vůbec nejvýznamnějším géniům světa a k pýše francouzského národa. Obvykle se však už nepíše, že nebyl matematikem z povolání, ale právníkem místního parlamentu v Toulouse a poté soudcem hrdelního soudu, který jen ze záliby pěstoval matematiku a v jejím rámci, takřka jen ”levou rukou„, založil vědeckou paprskovou optiku, a to principem, který dnes nese jeho jméno. Během dalšího století se ukázalo, že Fermatův princip je nejen základním principem celé geometrické optiky, kterou lze jako celek shrnout do jeho principu, ale že jeho mechanická obdoba zvaná Maupertuisův princip a další variační čili integrální principy v sobě zahrnují celou mechaniku a dokonce klasickou elektrodynamiku, včetně Maxwellových rovnic. Přitom Fermat nebyl snad jen virtuosem v oblasti matematických výpočtů, ale především objevitelem celých nových oblastí této vědy, přičemž optiky ”se dotkl„ jen mimochodem, když se totiž celá učená Evropa přela o podstatu světla. Jeho zálibou nebyly vůbec konkrétní výpočty, ale vyhledávání celých nových světů v matematice a formulace jejich nejobecnějších principů; tak například založil analytickou geometrii současně či ještě o něco dříve a důkladněji než Descartes a totéž platí o teorii pravděpodobnosti, o teorii čísel a o diferenciálním počtu, kde na jeho postupy a ideje navázal Leibniz a Newton. Přitom o publikace svých objevů se nestaral, zaznamenával je většinou jen na okraji soudních spisů nebo knih, které měl právě rozečtené.


Styl jeho práce je patrný třeba z historie „velké věty Fermatovy“. Patrně při nějakém vleklém přelíčení, kdy bylo od prvních chvil jasné, jak vše dopadne, nevšímal si zdlouhavých řečí žalobců, obhájců a svědků, ale zkoumal pythagorejská čísla, tj. přirozená čísla a, b, c, pro něž platí, že a2 + b2 = c2, např. 32 + 42 = 52. Záhy zjistil, že takových čísel existuje nekonečně mnoho a snadno je všechny zjistíme, položíme-li a = r2 - s2, b = 2r . s, c = r2 + s2, přičemž r, s jsou také přirozená čísla a r > s. Vidíme tedy, že uvedený vztah platí pro druhé mocniny čísel a, b a že platí i pro první mocniny, např. 31 + 41 = 71. Položil si tedy otázku, zda by totéž platilo pro vyšší, řekněme třetí, nebo obecně n-té mocniny, čili zda lze vůbec najít čísla a, b, c, pro něž by an + bn = cn. Shledal, že tomu tak není; tento výsledek poznamenal na okraj spisu s dodatkem, že důkaz je delší a že je proto na jiném papíře. Po celá léta jej pak jeho dědicové a mnozí slavní matematikové hledali - ale marně, a tak se o něj pokoušeli sami. Když marné pokusy o důkaz trvaly již několik století, rozhodl se jeden boháč, podobně jako A. Nobel, složit velmi vysokou částku pro toho, kdo první tento důkaz podá. Prozatím mělo z úroků dostávat stipendia na dobu studia deset studentů. Staletí plynula, až německý matematik Hilbert začal žertem prohlašovat: „Já bych to vyřešil, ale copak bych mohl připravit nadějné chudé studenty o jejich živobytí?“ Teprve na sklonku 20. století, čili po více než 400 letech, se důkaz skutečně podařil s pomocí nejmodernější matematiky dvěma Američanům v knize tomu věnované a mající hodně přes 200 stran. Takový tedy byl Fermat - génius nedbající o své vědecké objevy, a to zpravidla objevy fundamentálního a trvalého významu. Soudcem byl však nedbalým, nepořádným, ale velmi váženým, jehož postavení nedovedly ohrozit ani stížnosti jeho představených do Paříže dokonce samotnému Colbertovi.
Stejně významnou stopu zanechal i v optice a tím v celé fyzice. Jeho zájem probudila tehdejší situace evropské vědy v oblasti optiky, vrcholící v napětí a v konflikty nemající obdoby co do počtu účastníků ani intenzity. A tak si okolí francouzského krále nevědělo jiné rady, než se obrátit na Fermata, o němž bylo již známo, že s oblibou řeší právě nejtěžší problémy vědy, a to zpravidla rychle a úspěšně.
Všechno začalo Descartovou publikací zákona lomu světla v roce 1637. Tento zákon usilovně hledal již řecký učenec v egyptské Alexandrii a dokonce jako vůbec první v dějinách svoje experimenty popsal a doprovodil refrakčními tabulkami; byl jím nejslavnější starověký astronom Klaudios Ptolemaios kolem roku 140 našeho letopočtu, který se tak stal zároveň prvním experimentálním fyzikem v pravém slova smyslu. Měřil však deviaci paprsků při lomu do vody, do skla, mezi vodou a sklem apod., tj. zjišťoval, o kolik stupňů se paprsek při lomu odchýlí od původního směru, nikoli však úhly dopadu a lomu. Správný zákon lomu publikoval teprve v roce 1637 Descartes ve své Dioptrice; na formulaci tohoto základního zákona ztroskotal dokonce i geniální Kepler, který s neslýchanou suverenitou a jistotou navrhl nový astronomický dalekohled, ale na zákon lomu nestačil, a to hlavně proto, že se tradičně zaměřoval na deviaci paprsků a že věřil Ptolemaiovým tabulkám. A když konečně po 1497 letech přišla spása od Descarta, žádného vděku se nedočkal, a to nikoli snad proto, že by jeho zákon byl nesprávný nebo nepřesný, ale pro jeho filozofickou interpretaci, úzce související s názorem na podstatu světla.
Přitom pojetí samotného Descarta nebylo vůbec jednoznačné: odvození zákona se na jedné straně opíralo o analogii s pohybem pružné korpuskule (míče), která také po šikmém nárazu na rozhraní, např. při nárazu na jemnou překážku, třeba na list papíru, ztratí něco při jejím proražení na kolmé složce hybnosti, nikoli však na tečné složce k rozhraní. Stačí nyní zapsat tento fakt matematicky a získáme okamžitě dlouho hledaný zákon lomu.
Na druhé straně však sám Descartes říká, že jde pouze o analogii mezi pohybem světla a pohybem míče, přičemž „ve skutečnosti“ světlo není žádná substance, nějaká částice, ale spíše jen náraz, impuls, šířící se asi tak jako náraz na soustavu těsně se dotýkajících pružných koulí, třeba na kulečníku jimi naplněném do posledního místa. Ve shodě s negativním výsledkem Galileiových měření rychlosti světla pomocí světelného signálu v noci z luceren mezi vzdálenými kopci se dokonce domníval, že rychlost šíření světla je nekonečná.
Ještě nebyla Descartova kniha vytištěna a již se důrazně dali slyšet jeho odpůrci, ale poté i stoupenci, přičemž šíře sporů se šířila po celé Evropě jako kruhy na vodě, takže nebylo téměř učence, který by se nepostavil na tu či onu stranu. Pro snazší přehled uveďme, které tři „strany“ to byly a kam se zařadil Fermat.
1. Za Descartovo korpuskulární pojetí se nekompromisně a nadšeně postavil tehdy mladý Francouz Clerselier, jehož následovali stoupenci korpuskulární, emanační teorie podstaty světla v čele s nejslavnějším z nich - Isaacem Newtonem; toho pak následovala většina vědců až do poloviny 19. století.
2. Nejrozhodnějším odpůrcem tohoto pojetí však nebyli snad stoupenci vlnové teorie světla, jak si dnes myslíme, ale přední zástupce Francouzské královské Akademie věd Marin Cureau de La Chambre, hlavní osobní lékař krále. Ten vehementně popřel jakékoli fyzikální analogie světla a hmoty, na prvním místě „urážlivé a materialistické“ příměry světla a „špinavé pozemské hmoty“; sám dokonce napsal knihu „Světlo“, v níž si zakládá na tom, že odhalil lidstvu tajemství této entity, jejíž přirozenost je něčím mezi nebem a zemí, mezi přirozeným a nadpřirozeným - neboť světlo k nám přichází hlavně z nebe, z hvězd, od Boha, který je zároveň dárcem „světla rozumu“ (dnes bychom řekli zdravého rozumu). Mezi fyzickým světlem a světlem rozumu či „osvícením“ se tehdy skoro nerozlišovalo... Poznamenejme hned, že s tímto pojetím se ztotožňoval např. i Komenský, blížil se mu Leibniz - a s určitou rezervou záhy i Fermat! La Chambre a jeho stoupenci dovedli sice argumentovat velmi vznešeně až přesvědčivě - neměli však v ruce nejsilnější zbraň, jakou vládli karteziáni, tj. odvození správného zákona lomu. Získat je by bylo znamenalo jejich vítězství - podle jejich tehdejšího názoru. A tímto jejich spasitelem se mohl stát jedině matematický génius převyšující samotného Descarta. Obrátili se tedy do Toulouse; zanedlouho se dočkali Fermatova řešení a rázem triumfovali.
Fermat totiž znal podivuhodný názor na šíření světla dalšího starověkého génia - Herona Alexandrijského ze 2. století před naším letopočtem. Ten totiž znal pravděpodobně od Eukleida nejen zákon odrazu světla na zrcadlící ploše tak, jak jej známe dnes, ale navíc formuloval pro odraz princip nejkratší optické dráhy: z bodu A se po odrazu do bodu B šíří světlo tak, že délka jeho dráhy je minimální ze všech možných, což vyjádřeno trochu srozumitelněji, „antropomorfisticky“, vyjadřuje skutečnost, že příroda se chová co nejekonomičtěji, šetří na dráze a posílá po odrazu paprsek nejkratší cestou ze všech možných do bodu B. Fermata asi napadlo, že by se tímto principem mohlo světlo řídit i při lomu paprsku - ovšem vyjádřit to matematicky byl tehdy schopen právě jen Fermat: také při lomu paprsku se „chová“ paprsek „nejekonomičtěji“ a šíří se nikoli po nejkratší geometrické dráze jako při odrazu, ale po extrémní „optické dráze“, přičemž optická dráha je součin geometrické vzdálenosti mezi oběma body s a indexu lomu n prostředí, jímž paprsek prochází. Za zmínku stojí také fakt, že ona optická dráha nemusí být vždy nejkratší, ale může být také nejdelší, zkrátka extremální. V dnešní podobě Fermatův princip říká, že ze všech myslitelných drah mezi body A, B se šíří světlo vždy tak, že se realizuje právě jen ta dráha, pro niž je první variace ?S optických drah ?AB nds rovna nule, tj.

?S ? ??AB nds = 0,

čili, že dráha paprsku je extremální, čili „stacionární“.
Teprve uvážíme-li, že k tomuto výsledku Fermat dospěl ještě před objevem integrálního či variačního počtu, k němuž ostatně sám položil základy, pochopíme jeho velikost.
Fermatův princip v sobě zahrnuje celou geometrickou optiku; podle něj lze vypočítat dráhu paprsku i v prostředích s proměnným indexem lomu, např. tak byla poprvé vědecky řešena problematika astronomické refrakce. Vzpomínám si také, že právě podle Fermatova principu sestrojil v 60. letech 20. století - jako první na světě - velký český optik, RNDr. Bohumil Jurek, DrSc., skvělý zrcadlový mikroskop s velkou pozorovací vzdáleností - ovšem se složitými asférickými plochami objektivu, přičemž chod jednotlivých paprsků se musel vypočítávat právě pomocí zmíněného principu.
3. Další směr v oblasti pojetí optických jevů představovala vlnová teorie světla, jejíž zakladatel Huygens asi nebyl Fermatovi ani Descartovi nakloněn, a dokonce ho osočil z plagiátorství v tom smyslu, že prý sám kdysi viděl v rukopise nikdy nevydaného Snelova spisu podobnou formulaci zákona lomu světla, jakou uveřejnil Descartes.
O Fermatově osobním životě se ví jen málo spolehlivého. Základní školu vychodil v rodišti, kde měl otec Dominique prosperující obchod s koženým zbožím a byl místostarostou. Dědeček byl rovněž obchodník, jmenoval se Pierre a po něm má jméno i náš vědec. Otec si vzal zámožnou šlechtičnu Claire de Long. Pierre studoval na univerzitě v Toulouse a roku 1620 pobyl ze stejného důvodu v Bordeaux; své vzdělání formálně ukončil 1. května 1631 v Toulouse jako bakalář civilního práva. Tam se také stal právníkem, oženil se s neteří své matky Louisou de Long (1. června 1631) a po zaplacení příslušných poplatků byl v úřadě povýšen a i nadále postupoval v právnických funkcích, maje „za sebou“ pařížskou Akademii a Cureaua de Chambrea, takže vzdor stížnostem (např. Colbertovi roku 1664) byl nedotknutelný. Byl horlivý katolík a nejstarší z jeho pěti dětí Clément Samuel Fermat, který zdědil jeho úřad, také část jeho matematických a optických prací publikoval. Dvě z jeho sester se staly jeptiškami, bratr Jean byl arcijáhnem ve Fimarensu a jen dcera Claire se provdala. Náš vědec byl mimořádně dobrého zdraví, takže přečkal i mor v roce 1652 a dožil se na svou dobu vysokého věku. Po smrti byl pohřben nejprve v Castres a poté byly jeho ostatky v roce 1675 přeneseny do chrámu sv. Augustina v Toulouse.

autor: RNDr. Vladimír Malíšek, CSc., převzato z časopisu ČOO
Literatura:
1. Malíšek, V., Hniličková, J.: Vývoj názorů o světle, Karlova univerzita (1973), Praha
2. Henry, Ch., Tannery, P. (editoři): Oeuvres de Fermat, 4 svazky, Paris 1891-1912 + Dodatky od Cornelise de Waard, Paris 1922
3. Itard, Jean: Pierre Fermat, Basel 1950

můj účet